Por lo tanto, sus reglas de fluencia solo se pueden aplicar al comportamiento del material elástico-plástico puro. Para los materiales que están sujetos a un proceso de deterioro, por ejemplo, debido a grietas, resulta más adecuado el modelo de material de deterioro que se explica a continuación. Un buen ejemplo de este tipo de material es el hormigón, que presenta una resistencia a la compresión considerablemente mayor que la resistencia a la tracción. Las fisuras que se producen en la zona de tracción del material reducen la rigidez del sistema. En el caso del hormigón armado o del hormigón reforzado con fibras, la armadura absorbe las tensiones de tracción.

Base teórica

Los modelos de materiales no lineales se representan, por lo general, mediante el desplazamiento de un cuerpo en el espacio de deformación actual hacia una configuración de referencia sin tensiones (véase la figura 02). Se puede encontrar más información sobre este tema, por ejemplo, en [2].

Las deformaciones del elemento local se representan en el sistema de referencia mediante un tensor de distorsión. La distorsión en el sistema de referencia no deformado se deriva mediante el tensor de distorsión de Green-Lagrange E = ½ ∙ (FT ∙ F – 1) y la distorsión en el sistema de coordenadas local mediante el tensor de distorsión de Euler-Almansi e = ½ ∙ (I – b-1). A partir de estas dos distorsiones, se deriva mediante integración parcial una distorsión lineal ε = ½ ∙ (H + HT), a partir de la cual se pueden calcular las tensiones nominales en el cuerpo mediante el teorema de Cauchy y el tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff. De este modo, mediante las ecuaciones de balance del continuo, se pueden representar las tasas de energía libre.

Balancee las ecuaciones del continuo:

• El balance de masa establece que la masa del sistema permanece constante aunque este se deforme.

• El balance de impulsos como variación temporal del impulso total

• El balance del momento angular como la tasa de variación del momento total

• Primer principio de la termodinámica: la energía total de un cuerpo se conserva.

Energía cinética = potencia mecánica + superficie de tensión

• Segundo principio de la termodinámica: al pasar a otro estado, se libera energía (calor).

Las ecuaciones de estado (ecuaciones constitutivas) permiten introducir la dependencia del material en los cuerpos. El deterioro se tiene en cuenta en el modelo del material a través de las variables internas (energía libre ψ, entropía específica s, tensor de tensiones de Cauchy σ, vector de flujo de calor q). En este contexto, la «memoria» del material, es decir, su comportamiento dependiente del tiempo, también desempeña un papel importante. Esto se tiene en cuenta mediante el endurecimiento cinemático e isotrópico. En lo que respecta al daño del material, la componente de deformación se descompone de forma aditiva en una componente elástica y una componente plástica. La componente plástica, a su vez, se descompone en una componente cinemática y una componente isotrópica.
ε = εe + εp → εp = εiso + εkin

En el artículo sobre el comportamiento elástico no lineal de los materiales ya se explicó que la función de fluencia, que tiene en cuenta los efectos del daño, depende de los invariantes del tensor de tensiones. Concretamente, la función de fluencia está sujeta a una restricción según la denominada condición de Kuhn-Tucker, que establece que todos los estados de tensión dentro del espacio de tensiones principales son menores que 0 y, por lo tanto, elásticos. Las tensiones fuera de este espacio no son admisibles y se proyectan de nuevo sobre la superficie de fluencia mediante un paso de corrección (paso predictor-corector). Este cálculo se realiza mediante una función de prueba, lo que requiere un método de cálculo no lineal según Newton-Raphson.

La función de fluencia (de [4]) en el modelo de material «Deterioro» distingue entre tensión de tracción y tensión de compresión para el material:

En este contexto, la letra r representa la tasa de energía y la letra h, la solidificación de la función. Las variables A y B indican el daño del material. Al igual que en el siguiente capítulo, esto se lleva a cabo mediante la relación tensión-deformación en el espacio de tensiones principales.

Daño en RFEM

Tras esta introducción básica al tema, se explica el tratamiento del modelo de materiales en RFEM. En el marco de este artículo solo es posible ofrecer una visión general del tema, que puede presentar algunas lagunas. Por ello, se recomienda consultar bibliografía complementaria como [2].

Debido al método de cálculo no lineal con paso de corrección, el cálculo en la primera etapa del diagrama debe realizarse de forma elástica lineal. La solución en RFEM para esto prevé que la deformación en la segunda etapa del diagrama dependa del módulo de elasticidad definido en el diálogo de materiales y de la tensión límite definida (véase la imagen 04).

En este caso, la deformación se rige por la ley de Hooke: ε = σ / E. Tras este primer paso de predicción elástica, se puede establecer prácticamente cualquier definición antimétrica del diagrama tensión-deformación. En este contexto, también es posible que el módulo de elasticidad del material sea negativo, ya que este se calcula a partir de la siguiente relación:

Sin embargo, dado que el módulo de elasticidad solo es necesario para calcular a posteriori la relación, en este caso también es posible utilizar el valor absoluto del módulo. El cálculo mediante una iteración de corrección, que también se ha explicado, garantiza, en el modelo de material con daño, que la rigidez del sistema se reduzca hasta que cada elemento de elementos finitos deje de absorber tensión. Las deformaciones en el elemento correspondiente pueden llegar a ser muy grandes.

Resumen

El modelo de material «Daño» permite realizar cálculos no lineales con relaciones tensión-deformación antimétricas y prácticamente arbitrarias. Sin embargo, aunque se produzca un daño en el material, el sistema sigue siendo un continuo. Es decir, no se representan grietas en el sistema. El esfuerzo numérico que esto requeriría sería muy considerable. Por ejemplo, sería necesario volver a mallar el sistema con una malla de elementos finitos denominada «adaptativa». Debido a las restricciones mencionadas, pueden acumularse deformaciones muy grandes en el sistema.

En caso de deformaciones muy elevadas, el usuario debería dividir el sistema manualmente. Esto podría realizarse, por ejemplo, mediante volúmenes de contacto con los correspondientes límites de fluencia analógicos. Además, este modelo de material no tiene en cuenta la deformación plástica del elemento. Esto puede resultar especialmente útil en la zona de compresión. Para el problema habitual del hormigón agrietado en la zona de tracción, el modelo de material es suficientemente preciso.

Referencias

[1] Barth, C.; Rustler, W .: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis, 2. edición. Berlín: Beuth

[2] Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hannover: Instituto de Mecánica y Mecánica Computacional, Universidad de Leibniz, Hannover.

[3] Altenbach, H.: Kontinuumsmechanik – Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3. edición. Berlín: Springer, 2015

[4] Hürkamp, A.: Micro-Mechanically Based Damage Analysis of Ultra High Performance Fibre Reinforced Concrete Structures with Uncertainties. Hannover: Instituto de Mecánica y Mecánica Computacional, Universidad de Leibniz, Hannover.

[5] Wu, J. Y.; Li J.; Faria R.: An energy release rate-based plastic-damage model for concrete, International Journal of Solids and Structures 43, Seiten 583 – 612. Amsterdam: Elsevier, 2006

Autor

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn. Ingeniería de producto y atención al cliente